Анатолий Днепров родился в Днепропетровске в еврейской семье. В 1963 году поступил в Днепропетровский индустриальный техникум по специальности мастера контрольно-измерительных приборов, а в 1964 году — в городское музыкальное училище имени Глинки. В 1967—1970 годах служил в армии в составе ансамбля песни и пляски МВД Украины и Молдавии в Киеве, затем работал пианистом в джаз-оркестре Днепропетровского трубопрокатного завода имени Карла Либкнехта. В 1971 году окончил музыкальное училище и поселился в Москве. В 1979—1987 годах жил в Нью-Йорке. С 1987 года занимался концертной деятельностью в СССР.
Автор песен «Армения», «Телефон доверия», «Еврейский мальчик», «Россия», «Рюмка ностальгии», «Ах, как жаль» и других.
Автором слов многих песен в репертуаре Анатолия Днепрова были его жена Ольга Павловна Гросс (псевдоним Ольга Павлова; «Россия», «Как дела, Америка», «Окаянная», «Признание с поручиком Голицыным», «Не пойму», «Ах, как жаль», «Как нам дальше жить», «Адрес — Русь», «Мама выходит замуж», «Ты только мне не прекословь», «Ах, какие белые на синем», «Возвратите любовь», «Еврейский мальчик») и тесть, известный импресарио Павел Леонидович Леонидов («Звёзды на лугу», «А море спит», «Целый мир», «Ока», «Веточка рябины»).
Анатолий Днепров также написал музыку к известной песне про любовь «Радовать».
5 мая 2008 года скоропостижно скончался в машине по пути из Волгограда в Ростов на Дону на концерт.
